内容提要: 本文通过对形成阴阳特性的S形曲线进行全面、综合、科学的分析，认为利用通常的平面坐标系、极坐标系都无法对太极图进行现代数学描述。为此，作者在充分考虑到太极图系统中阴阳特性呈现周期极化的特点，采取了特殊的手法，在绘制《周髀算经》日晷长度雷达坐标图的基础上，创建出能够满足太极图理论要求的坐标系――太极坐标系。
关 键 词：太极图、数学描述、坐标系、太极坐标系
  一、前言
  太极图是中国传统文化的灵魂，是中国古代先贤概括阴阳易理，研究宇宙万物变化发展规律的图式。太极图博大精深，奥妙无穷，堪称宇宙模型。我们对它既熟悉又陌生。熟悉的是，自从宋代先贤继承并创建以来，各式各样的太极图形在华夏大地上乃至世界范围内随处可见。如北宋有周敦颐的周氏太极图、明朝有来知德的来氏太极图、左辅制作的景岳太极图与左辅太极图，清朝有胡煦所制的循环太极图等等。在韩国、蒙古国的国旗，新加坡、安哥拉空军的机徽，韩国、德国奥运会、韩国亚运会会徽，美国研制的世界第一台电脑商标，美洲印第安人的绘画和服饰上，都可见到太极图的踪影。但万变不离其宗，不管应用者如何变通发挥，太极图的基本模式没有改变。原始的图形就是外部一个圆，中间被一条S形曲线分隔成两半，一半为黑色的阴，另一半为白色的阳，如图一所示。陌生的是，太极图到底是用什么方法画出来的，能不能用数学形式表示，图形有什么作用等等，这些问题到目前为止都没有明确的答案。要让太极图成为真正的宇宙模型，摆在我们面前的首要任务是，建立一套完整的太极图理论和相应的数学模型，运用它可以对宇宙万物的变化现象作出科学的解释，并在实践中得到验证。要建立数学模型，就必须选择合适的坐标系。下面就如何建立描述太极图的坐标系作探讨性的研究。
                          
                                 图一　原始太极图
  二、坐标系简述
  坐标的思想是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的。笛卡尔坐标系有直角坐标系和斜角坐标系两种形式。笛卡尔直角坐标系也称之为平面直角坐标系。平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成的，横轴为X轴，取向右方向为正方向，纵轴为Y轴，取向上为正方向。两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。两坐标轴一般取相同的单位长度。坐标系中点的位置用投影在X轴、Y轴上的值表示。
  极坐标系是一个二维坐标系统，由极点、极轴和极角组成。一般情况下，极轴为极点向右方向（水平方向）的射线，极角取逆时针旋转方向为正。坐标系中点的位置用该点相对极点的距离r和相对极轴的角度θ来表示。
        
                          图二  用不同坐标系表示的太极图
  雷达图是极坐标系的一种特殊形式。其特点是极轴为极点向上方向（垂直方向）的射线，而极角取顺时针旋转方向为正。
  三、太极坐标系的建立
  试图用以上几种坐标系的数学形式描述太极图都存在困难。太极图外圈为圆，其坐标方程很容易确定。关键在于中间的Ｓ形曲线。这条曲线是不是连续的，曲线的曲率是多少，曲线是正Ｓ形、反Ｓ形还是横向Ｓ形等等诸类问题，在所有涉及太极图的古代经书中都没有定义和解释。因此，原始太极图本身没有坐标系的概念，太极图无法用数学方程表示，历来对太极图的描述只是如阴阳鱼图之类的文字叙述。
  那么，如何为太极图选定一种坐标系呢？我们不妨从以下两个方面去探索去考虑：一是太极概念，二是太极图形状。
  顾名思义，“太极”本身含有的极的字义，所以太极坐标系应该归属于极坐标系。“太极”一词最早见于《易传•系辞上》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。”孔子第一次引用太极概念诠释易理。因为，《易经》是一套研究探讨事物周期性变化规律的系统理论，所以太极具有整体概念，太极图的外圆是对事物周期性、整体性、系统性变化发展规律的概括。
  太极图的形状取决于中间的Ｓ形曲线形状。在不考虑倾斜角度的情况时，太极图的图形至少有八种形式。Ｓ形曲线将太极整体分为阴阳两部分，曲线本身可以是正的（逆时针），也可以是反的（顺时针），还可以是横向的。这八种形式可以用一个基本的图形来表示，其它七种图形可以由基本图形经过旋转变换和镜面（极点对称）变换形成。
                     
                           图三  由原始图形变换的太极图   
  另外，如果选用极坐标系，Ｓ形曲线是不连续的。在极坐标系中，极点是端点，平面上的点无论指向极点还是背向极点，经过极点位置时其方向都要发生改变。因此，Ｓ形曲线是相对极点、极轴的距离和角度形成的，与山川河流的连续形态的真实感觉不太一致，这也许是我们的祖先没能建立抽象数学模型的一个原因。
  从大多流传的太极图形状分析，其图形与雷达图较为接近，可以认为，太极图选用的坐标系为极轴自极点垂直向上，极角取顺时针方向为正。这一设定与中国传统的南北子午线的设定一致，坐标系平面的上方为正南方向，下方为正北方向。因为，中国古代的天文观察时使用的圭表系统其日影的方向是以子午线作为参考依据的，而日影则是按顺时针方向运动变化的。
  如果完全按照雷达图模式，用《周髀算经》记载“日中立竿测影” 的日影长度（减去不变的部分）绘制出的一个图形如下图所示。
                    
                                  图四 日影长度雷达图
  一年二十四个节气，圭表测得的日影长度夏至时最短，冬至时最长。图四是日影长度变化相对最大值为1个单位时的雷达图。令人惊讶的是从图形中我们发现一个“心”字，这个“心”或许是大地之心即“地中”的另一个含义。但该图似乎并没有Ｓ形曲线。
  仔细分析一下该图的结构，我们发现，图中的数据表示一年二十四个节气，1为夏至，13为冬至。“心”字曲线上的每一点至极点（圆心）的距离即极径r表示在该方位θ（节气）时圭表测得的日影长度。外圆为日影长度变化幅值a，而用最大幅值减去极径时得到的差恰好为该方位上圭表测得的光亮长度r1 ，即有
r1  = a - r
  与日影长度对应的有二十四个节气的光亮长度，用这组数据同样可以绘制出光亮长度雷达图。
                
                            图五  光亮长度雷达图
  比较图四、图五两图，日影长度雷达图心字内部的极径为日影长度，圆与心字外部的极径为光亮长度。而光亮长度雷达图则相反，心字内部的极径为光亮长度，圆与心字外部的极径为日影长度。如果日影长度区域用暗色表示，那么图四、图五可变换为图六、图七的图形，如下所示。
    
  如果将日影长度雷达图和光亮长度雷达图剖成两半，然后各取一半组成一个新的图形。奇迹出现了，由两半雷达图组成的图形酷似人们苦苦探索的宇宙模型――太极图。
  由此可见，一个完整的太极图是由两个部分组成的。如果把太极图的一半定义为阴，另一半定义为阳，那么，太极图恰恰就是阴阳两仪图。用日影长度雷达图转换为日影长度太极图，这仅仅是宇宙万物中的一个简单例子，但它充分体现了太极图所蕴藏的阴阳哲学思想，也表明阴与阳是组成太极图理论的基本要素。
         

                        

                              图八  日影长度太极图
  由日影长度和光亮长度两半雷达图合成日影长度太极图（图八）将圭表所测量的日影长度和光亮长度统一在一个图形之中。由极点出发至外圆的极径被中间的S形曲线分隔成两部分，白色区域部分的极径为光亮长度，黑色区域部分的极径为日影长度。每一个极角（节气）都对应一个日影长度。随着地球绕太阳的公转，日影长度在夏至与冬至之间变化，年复一年，循环不止。
  运用坐标系的概念，通过对《周髀算经》记载“日中立竿测影” 的日影长度雷达图的分析探讨，从中找到了能够描述的太极图的特殊坐标系，那就是用阴阳两个特性制作的坐标系，即图形的一半用阴极坐标表示，另一半用阳极坐标表示。为了便于研究，我们把由阴阳两个特性组成的极坐标系称之为太极坐标系。
  用r表示极坐标函数，r+表示阳性极坐标函数，r-表示阴性极坐标函数，θ表示极角，那么在一个周期即极角θ在0～2л之间，极坐标函数有如下关系式：
r =  r+  θ∈[0,л]
r =  r-  θ∈(л,2л]
                        
                                    图九   太极坐标系
  四、结束语
  太极坐标系的建立，充分说明了由中国创始的太极阴阳理论是完全科学的，也体现了中国哲学思维的高度智慧。太极坐标系是中国传统文化的传承和发扬，也是中国历代先贤用独特眼光认识宇宙万物变化发展规律的真实写照。太极坐标系形成的太极图形象地表达了老子在《道德经》中阐述的“万物负阴抱阳，冲气以为和”的由阴阳组合、形成万物合和状态的思想，同时也融会了“反者道之动”的“动而生阳，动极而静，静而生阴，静极复动”的物极必反的观点。随着太极坐标系的建立和应用，由中国先贤用智慧和心血凝聚而成的运用系统性、整体性、周期性、阴阳特征构成的世界观和方法论，将步入现代科学的殿堂并发挥巨大的作用。

（作者： 叶阳红先生，浙江省建德市新安江电厂高级工程师。此文获得邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集优秀作品奖）